Grupowanie metodą k-średnich
Metoda k-średnich jest niehierarchiczną metodą grupowania obserwacji. Jej celem jest podział danych na zadaną liczbę k klastrów w taki sposób, aby obserwacje należące do tego samego klastra były do siebie możliwie podobne, a suma kwadratów odległości obserwacji od środków ich klastrów była możliwie mała (MacQueen, 1967; Hartigan & Wong, 1979). Środek klastra, nazywany centroidem, jest wektorem średnich wartości analizowanych zmiennych dla wszystkich obserwacji należących do tego klastra.
W zastosowanym algorytmie procedura przebiega iteracyjnie:
- wybieranych jest k początkowych centroidów;
- każda obserwacja zostaje przypisana do odpowiedniego klastra na podstawie odległości od centroidów;
- po przypisaniu obserwacji położenie centroidów zostaje zaktualizowane;
- obserwacje mogą zostać przeniesione pomiędzy klastrami, jeżeli zmniejsza to sumę kwadratów wewnątrz klastrów;
- procedura kończy się, gdy dalsze przenoszenie obserwacji nie poprawia rozwiązania.
Funkcja kmeans() w tym raporcie wykorzystuje domyślny algorytm Hartigana–Wonga, którego celem jest znalezienie lokalnie optymalnego podziału minimalizującego sumę kwadratów wewnątrz klastrów (Hartigan & Wong, 1979). Ponieważ wynik może zależeć od centroidów początkowych, analizę rozpoczyna się 25 razy (nstart = 25) i zachowuje najlepszy uzyskany podział. Ustawienie ziarna generatora liczb losowych (set.seed(123)) zapewnia powtarzalność wyniku.
Założenia i ograniczenia metody
K-średnich najlepiej rozdziela zwarte grupy opisane zmiennymi ilościowymi i jest wrażliwe na skalę pomiaru, obserwacje odstające oraz wybór liczby klastrów. Z tego powodu zmienne zostały wystandaryzowane, zastosowano wiele startów algorytmu, a wyniki przedstawiono dla całego zakresu k. Klastry są opisowym podziałem próby, a nie kategoriami istniejącymi niezależnie od danych (chyba że wyjaśnia je teoria). Numery klastrów są umowne i nie tworzą porządku od najlepszego do najgorszego.
Dobór liczby klastrów metodą NbClust
NbClust jest narzędziem wspomagającym wybór liczby klastrów. Nie tworzy jednego nowego testu statystycznego, lecz uruchamia wiele wskaźników walidacji grupowania i zestawia ich rekomendacje. Wskaźniki oceniają między innymi zwartość klastrów, czyli podobieństwo obserwacji należących do tej samej grupy, oraz separację, czyli odmienność poszczególnych grup. Pakiet udostępnia 30 wskaźników i pozwala porównywać różne liczby klastrów oraz metody grupowania (Charrad et al., 2014).
W tej analizie NbClust porównuje rozwiązania od 2 do 4 klastrów. Dla każdej dopuszczalnej wartości k wykonywane jest grupowanie metodą k-średnich na podstawie odległości euklidesowej. Każdy możliwy do obliczenia wskaźnik wskazuje preferowaną liczbę klastrów, a rekomendacją raportu zostaje wartość k z największą liczbą wskazań. Jest to reguła większościowa, a nie test istotności statystycznej: wynik nie posiada wartości p i nie dowodzi, że tylko jeden podział jest poprawny (Charrad et al., 2014).
W bieżącej analizie funkcję NbClust() uruchomiono dla zakresu od 2 do 4 klastrów, z odległością euklidesową, metodą k-średnich oraz zestawem wszystkich dostępnych indeksów. Program uzyskał następujący rozkład rekomendacji indeksów: k = 2: 11 wskazań; k = 3: 7 wskazań; k = 4: 5 wskazań. Najwięcej wskazań (11) uzyskało rozwiązanie z 2 klastrami, dlatego zostało wskazane jako rozwiązanie rekomendowane i jest prezentowane w raporcie jako pierwsze. Następnie program przedstawia pozostałe rozwiązania z analizowanego zakresu, aby umożliwić porównanie ich interpretowalności i użyteczności merytorycznej. Rekomendacja nie jest testem istotności statystycznej ani dowodem, że tylko jeden podział jest poprawny. Szczegółowy rozkład wskazań przedstawiają Tabela nr 1 i Rysunek nr 1.
Tabela nr 1
Liczba wskazań indeksów NbClust dla analizowanych rozwiązań
| Liczba klastrów | Liczba wskazań |
|---|---|
| 2 | 11 |
| 3 | 7 |
| 4 | 5 |
Nota. Rekomendowane jest rozwiązanie z największą liczbą wskazań.
Rysunek nr 1
Liczba wskazań indeksów NbClust według liczby klastrów
Nota. Wyższy słupek oznacza większą zgodność indeksów co do danej liczby klastrów.
Wyniki segmentacji metodą k-średnich
Rozwiązanie: 2 klastry — rozwiązanie rekomendowane przez NbClust
Rysunek nr 2
Rozmieszczenie obserwacji dla rozwiązania z 2 klastrami
Nota. Punkty reprezentują respondentów, a liczby wskazują centroidy klastrów. Osie przedstawiają dwie pierwsze składowe PCA; linie przerywane są elipsami rozkładu.
Rysunek nr 3
Standaryzowane profile analizowanych zmiennych w rozwiązaniu z 2 klastrami
Nota. Punkty i linie przedstawiają średnie wyniki standaryzowane, a kolorowe wąsy średnią ± 2 błędy standardowe. Na osi poziomej podano liczebność klastra i jego procentowy udział w całej analizowanej próbie. Wynik dodatni oznacza nasilenie powyżej średniej całej próby, a wynik ujemny — nasilenie poniżej tej średniej. Znaczenie merytoryczne kierunku zależy od sposobu zakodowania zmiennej.
Tabela nr 2
Średnie wyniki w surowej jednostce pomiaru w rozwiązaniu z 2 klastrami
| Klaster | Łatwość | Użyteczność | Intencja zakupu | N |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.97 (0.60) | 3.88 (0.55) | 3.50 (0.71) | 155 (51,2%) |
| 2 | 3.24 (0.79) | 2.57 (0.66) | 1.99 (0.71) | 148 (48,8%) |
Nota. W komórkach przedstawiono M (SD). M = średnia; SD = odchylenie standardowe; N = liczebność klastra, a wartość w nawiasie w kolumnie N oznacza procent całej analizowanej próby. Wyższa wartość oznacza wyższe nasilenie wyniku liczbowego, a znaczenie merytoryczne kierunku zależy od sposobu zakodowania zmiennej.
Tabela nr 3
Standaryzowane profile analizowanych zmiennych w rozwiązaniu z 2 klastrami
| Klaster | Łatwość | Użyteczność | Intencja zakupu | N |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.45 (0.76) | 0.71 (0.62) | 0.71 (0.69) | 155 (51,2%) |
| 2 | -0.47 (1.00) | -0.75 (0.74) | -0.74 (0.69) | 148 (48,8%) |
Nota. W komórkach przedstawiono M (SD). M = średnia; SD = odchylenie standardowe; N = liczebność klastra, a wartość w nawiasie w kolumnie N oznacza procent całej analizowanej próby. Wartości są wynikami standaryzowanymi z. Wynik dodatni oznacza nasilenie powyżej średniej całej próby, a wynik ujemny — nasilenie poniżej tej średniej.
Krótka interpretacja nasilenia wyników
Klaster 1: najwyższe względne nasilenie wyniku odnotowano dla zmiennej „Użyteczność”, a najniższe dla zmiennej „Łatwość”.
Klaster 2: najwyższe względne nasilenie wyniku odnotowano dla zmiennej „Łatwość”, a najniższe dla zmiennej „Użyteczność”.
Rozwiązanie: 3 klastry
Rysunek nr 4
Rozmieszczenie obserwacji dla rozwiązania z 3 klastrami
Nota. Punkty reprezentują respondentów, a liczby wskazują centroidy klastrów. Osie przedstawiają dwie pierwsze składowe PCA; linie przerywane są elipsami rozkładu.
Rysunek nr 5
Standaryzowane profile analizowanych zmiennych w rozwiązaniu z 3 klastrami
Nota. Punkty i linie przedstawiają średnie wyniki standaryzowane, a kolorowe wąsy średnią ± 2 błędy standardowe. Na osi poziomej podano liczebność klastra i jego procentowy udział w całej analizowanej próbie. Wynik dodatni oznacza nasilenie powyżej średniej całej próby, a wynik ujemny — nasilenie poniżej tej średniej. Znaczenie merytoryczne kierunku zależy od sposobu zakodowania zmiennej.
Tabela nr 4
Średnie wyniki w surowej jednostce pomiaru w rozwiązaniu z 3 klastrami
| Klaster | Łatwość | Użyteczność | Intencja zakupu | N |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 4.06 (0.60) | 4.01 (0.52) | 3.68 (0.66) | 121 (39,9%) |
| 2 | 2.64 (0.77) | 2.05 (0.66) | 1.51 (0.53) | 53 (17,5%) |
| 3 | 3.59 (0.57) | 3.01 (0.50) | 2.41 (0.66) | 129 (42,6%) |
Nota. W komórkach przedstawiono M (SD). M = średnia; SD = odchylenie standardowe; N = liczebność klastra, a wartość w nawiasie w kolumnie N oznacza procent całej analizowanej próby. Wyższa wartość oznacza wyższe nasilenie wyniku liczbowego, a znaczenie merytoryczne kierunku zależy od sposobu zakodowania zmiennej.
Tabela nr 5
Standaryzowane profile analizowanych zmiennych w rozwiązaniu z 3 klastrami
| Klaster | Łatwość | Użyteczność | Intencja zakupu | N |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.56 (0.76) | 0.86 (0.58) | 0.89 (0.64) | 121 (39,9%) |
| 2 | -1.22 (0.97) | -1.34 (0.74) | -1.21 (0.51) | 53 (17,5%) |
| 3 | -0.03 (0.72) | -0.26 (0.56) | -0.34 (0.63) | 129 (42,6%) |
Nota. W komórkach przedstawiono M (SD). M = średnia; SD = odchylenie standardowe; N = liczebność klastra, a wartość w nawiasie w kolumnie N oznacza procent całej analizowanej próby. Wartości są wynikami standaryzowanymi z. Wynik dodatni oznacza nasilenie powyżej średniej całej próby, a wynik ujemny — nasilenie poniżej tej średniej.
Krótka interpretacja nasilenia wyników
Klaster 1: najwyższe względne nasilenie wyniku odnotowano dla zmiennej „Intencja zakupu”, a najniższe dla zmiennej „Łatwość”.
Klaster 2: najwyższe względne nasilenie wyniku odnotowano dla zmiennej „Intencja zakupu”, a najniższe dla zmiennej „Użyteczność”.
Klaster 3: najwyższe względne nasilenie wyniku odnotowano dla zmiennej „Łatwość”, a najniższe dla zmiennej „Intencja zakupu”.
Rozwiązanie: 4 klastry
Rysunek nr 6
Rozmieszczenie obserwacji dla rozwiązania z 4 klastrami
Nota. Punkty reprezentują respondentów, a liczby wskazują centroidy klastrów. Osie przedstawiają dwie pierwsze składowe PCA; linie przerywane są elipsami rozkładu.
Rysunek nr 7
Standaryzowane profile analizowanych zmiennych w rozwiązaniu z 4 klastrami
Nota. Punkty i linie przedstawiają średnie wyniki standaryzowane, a kolorowe wąsy średnią ± 2 błędy standardowe. Na osi poziomej podano liczebność klastra i jego procentowy udział w całej analizowanej próbie. Wynik dodatni oznacza nasilenie powyżej średniej całej próby, a wynik ujemny — nasilenie poniżej tej średniej. Znaczenie merytoryczne kierunku zależy od sposobu zakodowania zmiennej.
Tabela nr 6
Średnie wyniki w surowej jednostce pomiaru w rozwiązaniu z 4 klastrami
| Klaster | Łatwość | Użyteczność | Intencja zakupu | N |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.38 (0.49) | 3.36 (0.48) | 3.07 (0.53) | 116 (38,3%) |
| 2 | 4.32 (0.46) | 4.15 (0.52) | 3.77 (0.72) | 81 (26,7%) |
| 3 | 2.38 (0.59) | 2.05 (0.67) | 1.62 (0.54) | 42 (13,9%) |
| 4 | 3.94 (0.46) | 2.68 (0.64) | 1.69 (0.51) | 64 (21,1%) |
Nota. W komórkach przedstawiono M (SD). M = średnia; SD = odchylenie standardowe; N = liczebność klastra, a wartość w nawiasie w kolumnie N oznacza procent całej analizowanej próby. Wyższa wartość oznacza wyższe nasilenie wyniku liczbowego, a znaczenie merytoryczne kierunku zależy od sposobu zakodowania zmiennej.
Tabela nr 7
Standaryzowane profile analizowanych zmiennych w rozwiązaniu z 4 klastrami
| Klaster | Łatwość | Użyteczność | Intencja zakupu | N |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -0.29 (0.61) | 0.13 (0.54) | 0.29 (0.51) | 116 (38,3%) |
| 2 | 0.90 (0.58) | 1.01 (0.58) | 0.98 (0.69) | 81 (26,7%) |
| 3 | -1.56 (0.74) | -1.34 (0.75) | -1.11 (0.52) | 42 (13,9%) |
| 4 | 0.41 (0.58) | -0.63 (0.72) | -1.04 (0.49) | 64 (21,1%) |
Nota. W komórkach przedstawiono M (SD). M = średnia; SD = odchylenie standardowe; N = liczebność klastra, a wartość w nawiasie w kolumnie N oznacza procent całej analizowanej próby. Wartości są wynikami standaryzowanymi z. Wynik dodatni oznacza nasilenie powyżej średniej całej próby, a wynik ujemny — nasilenie poniżej tej średniej.
Krótka interpretacja nasilenia wyników
Klaster 1: najwyższe względne nasilenie wyniku odnotowano dla zmiennej „Intencja zakupu”, a najniższe dla zmiennej „Łatwość”.
Klaster 2: najwyższe względne nasilenie wyniku odnotowano dla zmiennej „Użyteczność”, a najniższe dla zmiennej „Łatwość”.
Klaster 3: najwyższe względne nasilenie wyniku odnotowano dla zmiennej „Intencja zakupu”, a najniższe dla zmiennej „Łatwość”.
Klaster 4: najwyższe względne nasilenie wyniku odnotowano dla zmiennej „Łatwość”, a najniższe dla zmiennej „Intencja zakupu”.
Bibliografia
Charrad, M., Ghazzali, N., Boiteau, V., & Niknafs, A. (2014). NbClust: An R package for determining the relevant number of clusters in a data set. Journal of Statistical Software, 61(6), 1–36. https://doi.org/10.18637/jss.v061.i06
Hartigan, J. A., & Wong, M. A. (1979). Algorithm AS 136: A k-means clustering algorithm. Applied Statistics, 28(1), 100–108. https://doi.org/10.2307/2346830
MacQueen, J. (1967). Some methods for classification and analysis of multivariate observations. In Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability (Vol. 1, pp. 281–297). University of California Press.